Question

Помогите, пожалуйста, решить номер 12.37 ❤

Answer 1

Решение обыкновенное:

$\sqrt[7]{\frac{5-x}{x+3}}+ \sqrt[7]{\frac{x+3}{5-x}}=2$

$\sqrt[7]{\frac{5-x}{x+3}}+\frac{1}{\sqrt[7]{\frac{5-x}{x+3}}}=2$

$\frac{(\sqrt[7]{\frac{5-x}{x+3}})^2+1}{\sqrt{7}{\frac{5-x}{x+3}}}=2$

$\frac{(\sqrt[7]{\frac{5-x}{x+3}})^2-2(\sqrt{7}{\frac{5-x}{x+3}})+1}{\sqrt{7}{\frac{5-x}{x+3}}}=0$

$\frac{(\sqrt[7]{\frac{5-x}{x+3}}-1)^2}{\sqrt{7}{\frac{5-x}{x+3}}}=0$

$\sqrt[7]{\frac{5-x}{x+3}}=1$

$\frac{5-x}{x+3}=1$

$5-x=x+3$

$2x=2$

$x=1$

Решение "по-умному":

$\sqrt[7]{\frac{5-x}{x+3}}=y$

Тогда уравнение можно переписать в виде:

$y+\frac{1}{y}=2$

Используя неравенство Коши:

$y+\frac{1}{y}\geq 2$

причём равенство достигается, если $y=\frac{1}{y}; y=1$ и y -положительное (так и есть)

$\sqrt[7]{\frac{5-x}{x+3}}=1$ и так далее

P.S. я решил бы конечно 2 способом, это очевидно, но кому как, поэтому привёл решение "в лоб" тоже.