Question

Четырёх угольник АВСД вписан в окружность радиуса 8. Известно АВ=ВС=СД=12. Доказать. Что ВС и АД параллельны. Найти АД. Указание. Возможно понадобится найти синус 3х. Его можно найти через сумму синусов х и 2х.

Answer 1

1) Т.к. углы CDB и CAB опираются на одну и ту же дугу, то они равны. Тогда треугольники DCB и ABC равны по стороне и 2-м углам(AC общая, а углы CDB=DBC=CAB=BAC т.к. треугольники DCB и ABC равнобедренные и углы CDB=CAB см. выше). Треугольники DCA и ABD равны по тому же принципу. В итоге треугольники CTB и DTA равнобедренные, а т.к. углы CTB и DTA вертикальные, то углы TDA и TBC равны, а это признак параллельности прямых, тогда CB || AD.

2) Пусть ACB=α. По формуле радиуса описанной окружности $8=\frac{12}{2sin\alpha}$, тогда $sin\alpha=\frac{3}{4}$. Угол DCA=180-3α. По теореме синусов имеем $\frac{12}{sin\alpha}=\frac{DA}{sin(180-3\alpha)}=\frac{DA}{sin3\alpha}=\frac{DA}{sin2\alpha+sin\alpha}=\frac{DA}{2sin\alpha cos\alpha+sin\alpha}=\frac{DA}{2sin\alpha \sqrt{1-sin^2\alpha}+sin\alpha}.$. Теперь подставляем значение sinα=3/4 и вычисляем. У меня получилось $3\sqrt{7}+12$