Question

Докажите если a>0 и b>0 то a2+b2+1>=ab+a+b

Answer 1

Умножим всё неравенство на 2:

2a² + 2b² + 1 ≥ 2ab + 2a + 2b

Перенесём всё в левую сторону:

2a² + 2b² + 1 - 2ab - 2a - 2b ≥ 0

Теперь выделим три полных квадрата:

(a² - 2ab + b²) + (a² - 2a + 1) + (b² - 2b + 1) ≥ 0

(a - b)² + (a - 1)² + (b - 1)² ≥ 0

Данное неравенство верно при любых a и b, т.к. сумма квадратов - есть число неотрицательное, значит, условие a > 0 и b > 0 необязательное.