Question

Найдите мумму наибольшего и наименьшего значений функции y=5√2×sin(x/5)-5√2×cos(x/5)-25.

Answer 1

Применим формулу дополнительного угла:

$\tt a\sin(kx)\pm b\cos(kx)=\sqrt{a^2+b^2}\sin(kx\pm \arcsin\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}})$

В нашем случае: k=1/5; a=b=1(если вынести за скобки 5√2), получим

$\tt y=5 \sqrt{2}\cdot \sqrt{1^2+1^2}\sin(\frac{x}{5}-\arcsin\frac{1}{\sqrt{1^2+1^2}})-25=10\sin(\frac{x}{5}-\frac{\pi}{4})-25$

Область значение функции $\tt y=\sin(\frac{x}{5}-\frac{\pi}{4})$ есть промежуток [-1;1]. Осталось теперь оценить функцию с помощью двойного неравенства.

$\tt -1\leq \sin(\frac{x}{5}-\frac{\pi}{4})\leq 1~~|\cdot10\\ \\ -10\leq 10\sin(\frac{x}{5}-\frac{\pi}{4})\leq 10~~~|-25\\ \\ -35\leq10\sin(\frac{x}{5}-\frac{\pi}{4})-25\leq-15$

Множество значений исходной функции: E(y) = [-35; -15]. Где у=-35 принимает наибольшее значение, а y=-15 - наименьшего. Сумма наибольшего и наименьшего значений функции: -35+(-15) = -50.

Ответ: -50.