Question

Найти все значения параметра k, при которых действительные корни x1,2 уравнения 2x²+(2+k)x-9=0 удовлетворяет соотношению (x1+x2)x1x2=27/8*k.

Answer 1

Дискриминант квадратного уравнения:

$\tt D=(2+k)^2-4\cdot2\cdot (-9)=4+4k+k^2+72=k^2+4k+76$

Квадратное уравнение имеет два действительных корня, если D>0

$\tt k^2+4k+76>0\\ (k+2)^2+72>0$

Последнее неравенство выполняется для всех k.

По теореме Виета: $\tt x_1+x_2=-\dfrac{2+k}{2} \\ x_1\cdot x_2=-4.5$

Подставим теперь в соотношение и решим уравнение

$\tt \bigg(-\dfrac{2+k}{2} \bigg)\cdot(-4.5)=\dfrac{27}{8}k~~~\bigg|\cdot8\\ \\ 18(2+k)=27k~~|:9\\ \\ 2(2+k)=3k\\ \\ 4+2k=3k\\ \\ k=4$