Дан куб АВСДА1В1С1Д1. На его ребрах АА1 В1С1 выбрали точки N и K соответственно так, что AN=B1K.
а) Докажите, чтот прямые NK и D1B перпендикулярны.
б) Наидите двугранный угол при ребре NK тетраэдра NKBD1, если AN:NA1=1:4
Ответы
..........................................
Пусть куб единичный.
Пусть A- начало координат
Ось X - AB
Ось Y - AD
Ось Z - AA1
1) Пусть AN=B1K=a
Координаты точек
N(0;0;a)
K(1;a;1)
D1(0;1;1)
B(1;0;0)
Вектора
NK(1;a;1-a)
D1B(1;-1;-1)
NK*D1B = 1 -a -1 + a = 0 Значит перпендикулярны . Доказано.
2)
N(0;0;0.2)
K(1;0.2;1)
D1(0;1;1)
B(1;0;0)
Уравнение плоскости NKB
ax+by+cz+d=0
подставляем координаты точек
0.2с+d=0
a+0.2b+с+d=0
a+d=0
Пусть d = -1 тогда с= 5 a =1 b= -25
Уравнение
x-25y+5z-1=0
Уравнение плоскости NKD1
ax+by+cz+d=0
подставляем координаты точек
0.2с+d=0
a+0.2b+с+d=0
b+c+d=0
Пусть d= -1 тогда с = 5 b= -4 a= -3.2
Уравнение
-3.2x-4y+5z-1=0
Косинус угла между плоскостями
(-3.2+100+25) / √(1+625+25) / √( 10.24+16+25) = 609 / √(833931) = 29 / √1891
Искомый угол тупой как видно из рисунка
Угол равен arccos( -29 / √1891)