Question

Решить уравнение
$(1+\frac{1}{2x}) lg3+lg2=lg(27-3^{\frac{1}{x}})$

Answer 1

$(1 + \frac{1}{2x} )lg3 + lg2 = lg(27 - {3}^{ \frac{1}{x} } ) \\ \\ lg{3}^{(1 + \frac{1}{2x} )} + lg2 = lg(27 - {3}^{ \frac{1}{x} } ) \\ \\ lg(3 \times {3}^{ \frac{1}{2x} } \times 2) = lg(27 - {3}^{ \frac{1}{x} } ) \\ \\ 3 \times {3}^{ \frac{1}{2x} } \times 2 = 27 - {3}^{ \frac{1}{x} } \\ \\ 6 \times {3}^{ \frac{1}{2x} } + {3}^{ \frac{1}{x} } - 27 = 0$

Сделаем замену: но при условии, что а > 0

${3}^{ \frac{1}{2x} } = a$

$6 \times a + {a}^{2} - 27 = 0 \\ \\ {a}^{2} + 6a - 27 = 0 \\ \\ a_{1} = - 9 \\ a_{2} = 3$

Обратная замена:

$a = 3 \\ \\ {3}^{ \frac{1}{2x} } = {3}^{1} \\ \\ \frac{1}{2x} = 1 \\ \\ 2x = 1 \\ \\ x = \frac{1}{2} = 0.5$
___________________________

ПРОВЕРКА:

$(1 + \frac{1}{2 \times \frac{1}{2} } )lg3 + lg2 = lg(27 - {3}^{ \frac{1}{ \frac{1}{2} } } ) \\ \\ 2lg3 + lg2 = lg(27 - {3}^{2} ) \\ \\ lg9 + lg2 = lg18 \\ \\ lg18 = lg18$

Верно