Question

Помогите, пожалуйста, решить системы уравнений! Никак не могу разобраться с таким типом заданий...

Answer 1

Заметим, что (х+у)² = х²+2ху+у². Отсюда х²+у² = (х+у)²-2ху. Исходная система примет вид:

$\begin {cases} (x+y)^2-2xy+5(x+y)+3xy=15 \\ (x+y)^2-2xy-(x+y)+xy=1 \end {cases} \Leftrightarrow \begin {cases} (x+y)^2+5(x+y)+xy=15 \\ (x+y)^2-(x+y)-xy=1 \end {cases}\\ a=x+y,\ b=xy\\ \Rightarrow \begin {cases} a^2+5a+b=15 \\ a^2-a-b=1 \end {cases}\ \Leftrightarrow \begin {cases} 2a^2+4a=16 \\ b=a^2-a-1 \end {cases} \Leftrightarrow \begin {cases} a^2+2a-8 = 0\\ b=a^2-a-1 \end {cases} \\ \Rightarrow \begin {cases} a_1=-4;\ a_2=2 \\ b=a^2-a-1 \end {cases}$

$\begin {cases} a_1=-4 \\ b_1=19 \end {cases}\ \ \begin {cases} a_2=2 \\ b_2=1 \end {cases}$

$1)\ \begin {cases} x+y=-4 \\ xy=19 \end {cases}\ \Leftrightarrow \begin {cases} x=-y-4 \\ (-y-4)y=19 \end {cases}\ \Leftrightarrow \begin {cases} x=-y-4 \\ y^2+4y+19=0 \end {cases}\\ y^2+4y+19=0\\ D=16-76=-60<0$

система решений не имеет

$2)\ \begin {cases} x+y=2 \\ xy=1 \end {cases}\ \Leftrightarrow \begin {cases} x=2-y \\ (2-y)y=1 \end {cases}\ \Leftrightarrow \begin {cases} x=2-y \\ y^2-2y+1=0 \end {cases}\ \Leftrightarrow \\ \begin {cases} x=2-y \\ (y-1)^2=0 \end {cases} \Rightarrow \begin {cases} y=1 \\ x=1 \end {cases}$

Ответ: (1; 1).