Question

при каких значениях параметра "m" уравнение:
(1+m)(x²+2x+m)-2(m-1)(x²+1)=0
имеет два различных действительных корня.

Answer 1

$\tt (1+m)(x^2+2x+m)-2(m-1)(x^2+1)=0\\ (1+m)x^2+2x(1+m)+m+m^2-2(m-1)x^2-2m+2=0\\ (1+m-2m+2)x^2+2x(1+m)+m^2-m+2=0\\ (3-m)x^2+2x(1+m)+m^2-m+2=0$

Дискриминант квадратного уравнения:

$\tt D=b^2-4ac=4(1+m)^2-4(3-m)(m^2-m+2)=4+8m+4m^2-\\ -4(4m^2+9-m^3-5m)=4+8m+4m^2-16m^2-36+4m^3+20m=\\ =4m^3-12m^2+28m-32$

Квадратное уравнение имеет два различных корня, если D>0

$\tt 4m^3-12m^2+28m-32>0~|:4\\ m^3-3m^2+7m-8>0$

Решим кубическое уравнение $\tt m^3-3m^2+7m-8=0$ методом Виета-Кардано.

a = -3; b=7; c=-8

Q = (a²-3b)/9 ≈ -1.333

R = (2a³ - 9ab + 27c)/54 =-1.5

S = Q³ - R² ≈ -4.62

Поскольку S<0, то кубическое уравнение имеет один действительный корень

β = Arsh(|R|/√|Q|³)/3 ≈ 0.288

m = -2sgn(R)/√Q shβ -a/3 ≈ 1.674 - корень кубического уравнения

_____-____(1,674)____+_____

Решением неравенства D>0 является промежуток (1.674; + ∞)

Если коэффициент при x² равен нулю, то уравнение превратится в линейное, что имеет один корень, значит

$\tt 3-m\ne 0\\ m\ne 3$

Ответ: m ∈ (1.674;3)∪(3;+∞).