Question

С высоты h одновременно с одинаковой начальной скоростью v бросают два тела: первое - вертикально вверх, второе - вертикально вниз. В момент падения второго тела на землю первое тело достигает максимальной высоты H=40 м над уровнем земли. Определите начальную высоту h и начальную скорость тел v.

Answer 1

Пусть движение происходит вдоль оси z, а 0 находится на уровне земли.

Тогда уравнение движения первого тела: $z_1 = h + v_0t - \frac{gt^2}{2}$, его скорость: $v^1=v_0 - gt$

уравнение движения второго тела: $z_2 = h - v_0t - \frac{gt^2}{2}$

Пусть первое тело достигло максимальной высоты в момент времени $t_1$. В этот момент его скорость равна $v^1_1 = v_0 - gt_1 =0$. Или $v_0 = gt_1$

Подставим значение $v_0$ в уравнение движения первого тела в момент времени $t_1$, которое в этот момент находилось на высоте Н:

$z_1^1= h + gt_1 \cdot t_1 - \frac{gt_1^2}{2} = h + \frac{gt_1^2}{2} = H$

и в уравнение для второго, которое находилось на земле: $z_2^1 = h - v_0t_1 - \frac{gt_1^2}{2} = h - gt_1 \cdot t_1 -\frac{gt_1^2}{2} = h - \frac{3gt_1^2}{2} = 0$. Или $h = \frac{3gt_1^2}{2}$

Из уравнения для первого тела: $\frac{gt_1^2}{2} = H-h$ подставим в уравнение для второго: $h = 3 (H-h)$.

Получаем: $4 h = 3 H$. Тогда: $h = \frac{3}{4}H = \frac{3}{4} \cdot 40 = 30$м.

Найдем начальную скорость из выражения: $h = \frac{3gt_1^2}{2} = \frac{3v_0^2}{2g}$.

Получаем: $v_0 = \sqrt{\frac{2hg}{3}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 30 \cdot 10}{3}} = 10\sqrt{2}$м/с.