Question

Помогите пожалуйста решить показательные уравнения(неравенства)! *- это умножить. 15 баллов.

$1) 3^{x} \ \textless \ 1 + 12 * 3^{-x} ; 2)4 * 4^{x} \ \textless \ 7 * 2^{x} + 2; 3)9^{x} - 6 * 3^{x} - 27=0;$

Answer 1

1)

3ˣ<1+12*3⁻ˣ

3ˣ<1+12/3ˣ |×3ˣ

3²ˣ<3ˣ+12

3²ˣ-3ˣ-12<0

Пусть 3ˣ=t ⇒

t²-t-12<0

t²-t-12=0 D=49 √D=7

t₁=4 t₂=-3 ⇒

(t-4)(t+3)<0

(3ˣ-4)(3ˣ+3)<0

3ˣ+3>0 ⇒

3ˣ-4<0

3ˣ<4

log₃3ˣ<log₃4 ⇒

Ответ: x<log₃4.

2)

4*4ˣ<7*2ˣ+2

4*2²ˣ-7*2ˣ-2<0

Пусть 2ˣ=t ⇒

4t²-7t-2<0

4t²-7t-2=0 D=81 √D=9

t₁=2 t₂=-1/4

(t-2)(t+1/4)<0

(2ˣ-2)(2ˣ+1/4)<0

2ˣ+1/4>0 ⇒

2ˣ-2<0

2ˣ<2¹ ⇒

Ответ: x<1.

3)

9ˣ-6*3ˣ-27=0

3²ˣ-6*3ˣ-27=0

Пусть 3ˣ=t>0 ⇒

t²-6t-27=0 D=144 √D=12

t₁=3ˣ=9 3ˣ=3² x=2.

t₂=-3 ∉ ⇒

Ответ: x=2.