Question

Назовём дроби a/b и c/d (a, b, c, d - целые положительные числа) «соседними», если их разность ad − bc / bd имеет числитель ±1, то есть если ad - bc = ±1
1. Докажите, что в этом случае обе дроби несократимы.

Answer 1

Пусть дробь a/b сократима и равна (ka')/(kb'). Тогда разность
a/b - c/d = (ka'd - kb'c)/(bd) = k*(a'd - b'c)/(bd)
То есть числитель разности делится на k.
Но мы знаем, что числитель равен 1 или -1. Значит, k = 1.
Но это и значит, что дробь a/b несократима.
Тоже самое получится, если дробь c/d будет сократимой.