Question

доказать что 13^17 • 3^4 + 35^13 делится на 4
(^ - степень)

Answer 1

${13}^{17} =8650415919381337933$
${13}^{17} \times {3}^{4} = {13}^{17} \times 81 = \\ = 700683689469888372573$
${35}^{13} = 118272717781982421875$
Наше число
${13}^{17} \times {3}^{4} + {35}^{13}$
заканчивается на ...73+..75=...48
Т.к число , образованное последними двумя цифрами нашего выражения =48 делится на 4, то и наше число
делится на 4

PS
Наверняка, есть более изящное решение
, если есть определенная закономерность повторения последних цифр при умножении на 13

13*81=1053
13²*81=13689
13³*81=177 957
13⁴*81=2313441
13^5*81=30 074 733
13^6*81=390 971 529
13^7*81=5 082 629 877
13^8*81=66 074 188 401
13^9*81=858 964 449 213
13^10*81=11 166 537 839 769
13^11*81=145 164 991 916 997
но я её не нашёл

При умножении на 35 там все очевидно четная степень - 25 в конце, нечетная 75.

Поэтому я просто посчитал слагаемые
и определил последние два знака суммы для признака деления на 4

Answer 2

13 ≡ 1 (mod 4) (это означает, что 13 дает такой же остаток как и 1 при делении на 4)

3 ≡ -1 (mod 4)

35 ≡ -1 (mod 4)

13¹⁷ * 3⁴ + 35¹³ ≡ 1¹⁷ * (-1)⁴ + (-1)¹³ ≡ 1 - 1 ≡ 0 (mod 4)

что и требовалось доказать