Question

Решить уравнение:

$\sqrt{x+2-4\sqrt{x-2}} + \sqrt{x+7 - 6\sqrt{x-2}} = 1$

Заранее спасибо.

Answer 1

$\bf \sqrt{x+2-4\sqrt{x-2}} +\sqrt{x+7-6\sqrt{x-2}} =1\\ \sqrt{x-2-4\sqrt{x-2}+4}+\sqrt{x-2-6\sqrt{x-2}+9}=1\\ \sqrt{(\sqrt{x-2}-2)^2}+\sqrt{(\sqrt{x-2}-3)^2}=1 \\ |\sqrt{x-2}-2|+|\sqrt{x-2}-3|=1$

найдем нули подмодульных выражений

$\bf \sqrt{x-2}=2 \\ x-2=4\\ x=6\\ \\ \sqrt{x-2}=3\\ x-2=9\\ x=11$

решаем на интервалах

$\bf 1) \ x<6\\ \\-\sqrt{x-2}+2-\sqrt{x-2} +3=1\\ 2\sqrt{x-2}=4\\\sqrt{x-2}=2\\ x=6\notin (- \infty; \ 6)\\ \\ 2) \ x \in [6; \ 11)\\ \\ \sqrt{x-2}-2-\sqrt{x-2}+3 =1 \\ 1=1\\ x \in [6; \ 11)\\ \\ 3) \ x\geq 11\\ \\ \sqrt{x-2}-2+\sqrt{x-2}-3 =1 \\ 2\sqrt{x-2}=6\\ \sqrt{x-2}=3\\ x=11$

Ответ: x∈[6; 11]