Question

Пожалуйста помогите мне с тригонометрией ставлю 35 баллов тоиу кто правильно решит с обьяснением

Answer 1

1)

Из первого равенства выразим tgβ:

$\mathrm{tg}(\alpha+\beta )=3 \\\ \dfrac{\mathrm{tg}\alpha+\mathrm{tg}\beta}{1-\mathrm{tg}\alpha\mathrm{tg}\beta} =3 \\\ \mathrm{tg}\alpha+\mathrm{tg}\beta =3-3\mathrm{tg}\alpha\mathrm{tg}\beta \\\ \mathrm{tg}\beta +3\mathrm{tg}\alpha\mathrm{tg}\beta=3-\mathrm{tg}\alpha \\\ \mathrm{tg}\beta (1 +3\mathrm{tg}\alpha)=3-\mathrm{tg}\alpha \\\ \mathrm{tg}\beta =\dfrac{3-\mathrm{tg}\alpha}{1 +3\mathrm{tg}\alpha}$

Подставляем соотношение для tgβ во второе равенство:

$\mathrm{tg}(\alpha -\beta )=2 \\\ \dfrac{\mathrm{tg}\alpha-\mathrm{tg}\beta}{1+\mathrm{tg}\alpha\mathrm{tg}\beta} =2 \\\ \dfrac{\mathrm{tg}\alpha-\dfrac{3-\mathrm{tg}\alpha}{1 +3\mathrm{tg}\alpha} }{1+\mathrm{tg}\alpha\dfrac{3-\mathrm{tg}\alpha}{1 +3\mathrm{tg}\alpha} } =2 \\\ \dfrac{\mathrm{tg}\alpha(1 +3\mathrm{tg}\alpha)-(3-\mathrm{tg}\alpha)}{1 +3\mathrm{tg}\alpha+\mathrm{tg}\alpha(3-\mathrm{tg}\alpha)} =2$

$\dfrac{\mathrm{tg}\alpha +3\mathrm{tg}^2\alpha-3+\mathrm{tg}\alpha}{1 +3\mathrm{tg}\alpha+3\mathrm{tg}\alpha-\mathrm{tg}^2\alpha} =2 \\\ \dfrac{3\mathrm{tg}^2\alpha+2\mathrm{tg}\alpha -3}{-\mathrm{tg}^2\alpha +6\mathrm{tg}\alpha+1} =2 \\\ 3\mathrm{tg}^2\alpha+2\mathrm{tg}\alpha -3=-2\mathrm{tg}^2\alpha +12\mathrm{tg}\alpha+2 \\\ 5\mathrm{tg}^2\alpha-10\mathrm{tg}\alpha -5=0 \\\ \mathrm{tg}^2\alpha-2\mathrm{tg}\alpha -1=0 \\\ D_1=(-1)^2-1\cdot(-1)=2 \\\ \mathrm{tg}\alpha=1\pm\sqrt{2}$

Подставляем значение tgα в искомое выражение:

$\mathrm{tg}2\alpha=\dfrac{2\mathrm{tg}\alpha}{1-\mathrm{tg}^2\alpha} =\dfrac{2(1\pm\sqrt{2})}{1-(1\pm\sqrt{2})^2} = \dfrac{2\pm2\sqrt{2}}{1-(1\pm2\sqrt{2}+2)} = \\\ = \dfrac{2\pm2\sqrt{2}}{1-(3\pm2\sqrt{2})} = \dfrac{2\pm2\sqrt{2}}{1-3\mp2\sqrt{2})} = \dfrac{2\pm2\sqrt{2}}{-2\mp2\sqrt{2}} = \dfrac{2\pm2\sqrt{2}}{-(2\pm2\sqrt{2})} =-1$

2)

Найдем тангенс суммы:

$\mathrm{tg}(\alpha +\beta )=\mathrm{tg}60^\circ \\\ \dfrac{\mathrm{tg}\alpha+\mathrm{tg}\beta }{1-\mathrm{tg}\alpha\mathrm{tg}\beta } =\sqrt{3}$

Подставляем значения тангенсов:

$\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{x}+\sqrt{3}-\sqrt{x} }{1-(\sqrt{3}+\sqrt{x})(\sqrt{3}-\sqrt{x}) } =\sqrt{3} \\\ \dfrac{2\sqrt{3} }{1-(\sqrt{3})^2+(\sqrt{x})^2 } =\sqrt{3} \\\ \dfrac{2 }{1-3+x } =1 \\\ \dfrac{2 }{x-2 } =1 \\\ x-2=2 \\\ x=4$

3)

$\mathrm{tg}\left(\dfrac{\pi}{4} +\alpha \right)=\dfrac{2}{3} \\\ \dfrac{\mathrm{tg}\dfrac{\pi}{4} +\mathrm{tg}\alpha}{1-\mathrm{tg}\dfrac{\pi}{4} \mathrm{tg}\alpha} =\dfrac{2}{3} \\\ \dfrac{1+\mathrm{tg}\alpha}{1-\mathrm{tg}\alpha} =\dfrac{2}{3} \\\ 3(1+\mathrm{tg}\alpha)=2(1-\mathrm{tg}\alpha) \\\ 3+3\mathrm{tg}\alpha=2-2\mathrm{tg}\alpha \\\ 5\mathrm{tg}\alpha=-1 \\\ \mathrm{tg}\alpha=-\dfrac{1}{5}$