Question

30 баллов, тема: уравнение касательной к графику, просьба объяснить досконально, не понятна тема
График функции f(x)=x^2+px+q проходит через начало координат и касается прямой
y=2x-16. Найдите наименьшее значение функции f.

Answer 1

Так как функция f(x) проходит через начало координат

$\bf 0=0+0+q \ \Rightarrow \ q=0$

значит

$\bf f(x)=x^2+px$

Так как прямая y=2x-16 - касательная к графику функции f(x), уравнение

$\bf x^2+px=2x-16\\x^2+(p-2)x+16=0$

имеет один корень, т.е. дискриминант равен нулю

$\bf (p-2)^2-64=0\\ (p-2-8)(p-2+8)=0\\ (p-10)(p+6)=0\\ p=10 \ \ \ \ \ p=-6$

отсюда имеем две случая. Функция квадратичная (парабола), a>0, значит наименьшее значение принимает в вершине.

$\bf 1) \ \ \ f(x)=x^2-6x\\ y_0=\dfrac{4ac-b^2}{4a}=\dfrac{0-36}{4}=-9\\ \\ 2) \ \ \ f(x)=x^2+10x\\ y_0=\dfrac{4ac-b^2}{4a}=\dfrac{0-100}{4}=-25$

и наименьшее значение получаем -25

Ответ: -25