Question

Решить систему уравнений (нужно полное хорошее решение)

$\left \{ {{\frac{x^{3}}{2y}+3xy=25} \atop {\frac{y^{3}}{x}-2xy=16}} \right.$

Заранее большое спасибо!

Answer 1

$\left\{\begin{array}{I}\bf \dfrac{x^3}{2y}+3xy=25 \\\bf \dfrac{y^3}{x}-2xy=16 \end{array}}$

Замена:

xy=t

$\times \left\{\begin{array}{I}\bf \dfrac{x^3}{2y}=25-3t \\\bf \dfrac{y^3}{x}=16+2t \end{array}}$

$\bf \dfrac{x^3}{2y} \cdot \dfrac{y^3}{x}=(25-3t)(16+2t)\\ \dfrac{t^2}{2} =400+50t-48t-6t^2\\ 13t^2-4t-800=0\\ \frac{D}{4}=4+10400=10404=102^2\\ t_1=\dfrac{2+102}{13}=8\\ t_2=\dfrac{2-102}{13}=-\dfrac{100}{13}$

Обратная замена:

$\bf 1) \\ \dfrac{x^3}{2y}+24=25 \ \Rightarrow \ x^3=2y \ \Rightarrow \ y^3=\dfrac{x^9}{8}\\ \\ \dfrac{\frac{x^9}{8}}{x} -16=16\\ x^8=256\\ x= \pm 2 \ \Rightarrow \ y= \pm \sqrt[3]{\dfrac{2^9}{2^3}}=\pm 4 \\ \\ 2)\\ \dfrac{x^3}{2y}+3xy=25\\ \dfrac{x^4}{2xy}=25-3xy$

При xy=-100/13 в данном уравнении левая часть всегда отрицательна, а правая - всегда положительна. Отсюда делаем вывод, что решений при t=-100/13 нет.

Ответ: (2; 4), (-2; -4)