Question

Найдите множество значений функции $\displaystyle \frac{4x}{x^2+2}$

Answer 1

Дана функция $y=\frac{x}{x^2+2} .$

Её производная равна $y' = -\frac{4(x^2-2)}{(x^2+2)^2} .$

Приравняем производную нулю (достаточно числитель).

4(х² - 2) = 0.

х = +-√2.

Это минимум и максимум функции.

Левее х = -√2 и правее х = √2 производная отрицательна, значит на этих промежутках функция убывает.

Поэтому функция не выходит за пределы значений при х = +-√2.

А эти значения тоже равны у = +-√2 (при подстановке в уравнение

х = +-√2).

Это и есть область значений заданной функции.