Question

ПОЖАЛУЙСТА ПОМОГИТЕ

При каких значениях параметра а функция
$f(x) = {x}^{3} + {ax}^{2} + 3ax + 1$
возрастает на всей числовой прямой?

Answer 1

f(x)=x³-ax²+3ax+1
найдём производная

f'(x)=3x²-2ax+3a

f'(x)>0
функция возрастает

3x²-2ax+3a>0
D=4a²-12a<0
х€R
4a(a-3)<0
a€(-oo;0)U(3;+oo)

Answer 2

Функция возрастает на всей числовой прямой, если ее производная больше нуля.

$\tt f'(x)=(x^3+ax^2+3ax+1)'=3x^2+2ax+3a$

$\tt f'(x)>0$

$\tt 3x^2+2ax+3a>0$

Неравенство верно для всех х, если дискриминант < 0

$\tt D=(2a)^2-4\cdot3\cdot3a=4a^2-36a<0\\ 4a(a-9)<0$

______+__(0)__-____(9)____+____

Функция возрастает на всей числовой прямой при a ∈ (0;9). Осталось теперь проверить при а=0 и а=9

Если a=0, то f'(x)=3x^2>0 - верно. Если a=9, то f'(x)=3x^2+18x+27=3(x+9)^2>0 - верно.

Ответ: при a ∈ [0;9].