Question

При каких значениях a уравнение 3x²-5x+2a=0 a) ИМЕЕт корень равный 3. б)имеет два различных корня. в)имеет только положительные корни г)не имеет отрицательных корней? Подробно! пожалуйста

Answer 1

$3x^2-5x+2a=0$

а) Если х=3 - корень, то при подстановке его в уравнение получится верное равенство:

$3\cdot3^2-5\cdot3+2a=0 \\\ 27-15+2a=0 \\\ 2a=-12 \\\ a=-6$

б) Квадратное уравнение имеет два различных корня при положительном дискриминанте:

$D=(-5)^2-4\cdot3\cdot2a=25-24a \\\ 25-24a>0 \\ 24a<25 \\\ a<\frac{25}{24}$

в) По теореме Виета:

$\left\{\begin{array}{l} x_1+x_2=\dfrac{5}{3} \\ x_1x_2=\dfrac{2a}{3} \end{array}$

Если уравнение имеет положительные корни и при этом их сумма положительна, то и произведение должно быть положительно:

$\dfrac{2a}{3} >0 \\\ 2a>0 \\\ a>0$

г) Аналогично предыдущему пункту с той лишь разницей, что корни могут быть нулевыми. а значит и их произведение может равняться нулю:

$\dfrac{2a}{3} \geq 0 \\\ 2a\geq 0 \\\ a\geq 0$