Question

Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле. Сделать чертеж области интегрирования.

Answer 1

Область интегрирования ограничена линиями: x=0; x=1; y=-2x; y=√(4-x²)

Определим, что является графиком последней функции:

$y=\sqrt{4-x^2} \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y\geq 0 \\y^2=4-x^2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y\geq 0 \\x^2+y^2=4 \end{matrix}\right.$

Графиком является верхняя полуокружность с радиусом R=2

1) строим графики y=-2x; y=√(4-x²) (рис.1)

2) с учетом x=0 и x=1 получаем область интегрирования (заштрихованная область) (рис.2)

3) выражаем иксы через игреки и разбиваем исходный интеграл на 3 части (пользуясь рисунком 3)

ищем границы по игреку

зеленая область: от -2 до 0

синяя: от 0 до √3 (так как при х=1 получаем у=√(4-х²)=√(4-1)=√3)

красная: от √3 до 2

$y=\sqrt{4-x^2} \Rightarrow y^2=4-x^2\Rightarrow x^2=4-y^2 \Rightarrow x=\sqrt{4-y^2}$

$y=-2x \Rightarrow x=-\frac{y}{2} \Rightarrow x=-0.5y$

С полученными данными составляем окончательный ответ:

$\int\limits^1_0 dx\int\limits^{\sqrt{4-x^2}}_{-2x} {f(x,y)} \, dy =\int\limits^{0}_{-2 }dy\int\limits^{1}_{-0.5y} {f(x,y)} \, dx +\int\limits^{\sqrt{3}}_{0 }dy\int\limits^{1}_{0} {f(x,y)} \, dx +\\\\ +\int\limits^{2}_{\sqrt{3} }dy\int\limits^{\sqrt{4-y^2}}_{0} {f(x,y)} \, dx \\ \\ \\ OTBET:\\ \int\limits^{0}_{-2 }dy\int\limits^{1}_{-0.5y} {f(x,y)} \, dx +\int\limits^{\sqrt{3}}_{0 }dy\int\limits^{1}_{0} {f(x,y)} \, dx +\int\limits^{2}_{\sqrt{3} }dy\int\limits^{\sqrt{4-y^2}}_{0} {f(x,y)} \, dx$