Question

В четырехугольнике ABCD известно, что AD∥BC, AD=24, BC=9. Биссектриса угла CAD пересекает диагональ BD в ее середине. Найдите длину другой диагонали AC.

Answer 1

Решение задания приложено

Answer 2

А мы пойдём другим способом:

1) Достроим медиану АМ треугольника АВD до пересечения с прямой ВС в точке Е →

угол EBD = угол ABD – как накрест лежащие углы при параллельных прямых ВЕ и AD и секущей BD
угол BME = угол АМD – как вертикальные углы
ВМ = MD – по условию

Значит, ∆ ВМЕ = ∆ АМD по стороне и двум прилежащими углам

В равных треугольниках соответственно равные элементы: стороны и углы →
АМ = МЕ , но по условию BM = MD
Значит, диагонали четырёхугольника АВЕD пересекаются и точкой пересечения делятся пополам
Также можно было бы заметить следующее:
ВС || АD и ВС = AD →
В четырёхугольнике АВЕD две стороны параллельны и они же равны

Из всего этого следует, что четырёхугольник АВЕD – параллелограмм

( Можно было бы это не рассматривать, главное то, что ∆ ВМЕ = ∆ AMD )

2) угол СЕА = угол ЕАD – как накрест лежащие углы при параллельных прямых СЕ и AD и секущей АЕ
угол САЕ = угол ЕАD – по условию

Значит, угол САЕ = угол СЕА →
∆ САЕ – равнобедренный, !!! АС = СЕ !!!

ВЕ = AD = 24
BE = BC + CE
24 = 9 + CE
CE = 24 - 9 = 15


ОТВЕТ: СЕ = 15