Question

(x² - 4x + 5 ) (y²+ 6y + 12)=3
(сколько решений имеет уравнение )
с решением пожалуйста

Answer 1

Выделим полные квадраты:

$( {x}^{2} - 4x + 4 + 1)(y ^{2} + 6y + 9 + 3) = 3 \\ ((x - 2)^{2} + 1)(( {y + 3)}^{2} + 3) = 3$
Квадрат любого числа всегда больше либо равен нулю, значит:
$( {x - 2)}^{2} \geqslant 0 \\ {(y + 3)}^{2} \geqslant 0$
Соответственно:

$( {x - 2)}^{2} +1\geqslant 1 \\ {(y + 3)}^{2}+3 \geqslant 3$
Минимальное возможное произведение скобок будет равняться:

$((x - 2)^{2} + 1)(( {y + 3)}^{2} + 3) = 1 \times 3 = 3$
Значит, чтобы произведение равнялось 3, нужно чтобы выполнилось два условия:

$\left\{\begin{matrix}( {x - 2)}^{2} + 1 = 1 \\ {(y + 3)}^{2} + 3 = 3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}( {x - 2)}^{2} = 0 \\ {(y + 3)}^{2} = 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}x = 2 \\ y = - 3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$
Ответ: одно решение (2;-3)

Answer 2

(x^2-4x+5)(y^2+6y+12) = 3
(x^2-4x+4+1)(y^2+6y+9+3) = 3
((x-2)^2 + 1)((y+3)^2 + 3) = 3
При x = 2, y = -3 будет
(0^2 + 1)(0^2 + 3) = 1*3 = 3
При любых других х и у слева будет число больше 3.
Решение единственное: (2; -3)