Question

Площадь прямоугольного треугольника равна 11, а периметр 22.
Найдите длину высоты треугольника, которая проведена к гипотенузе.

Answer 1

Катеты a, b

Гипотенуза с

Высота к гипотенузе h

--- 1 ---

Площадь через катеты

S = 1/2*a*b = 11

a*b = 22

--- 2 ---

Гипотенуза по т. Пифагора

c² = a² + b²

--- 3 ---

Периметр

P = a + b + c = 22

c = 22 - a - b

c² = a² + 2ab - 44a + b² - 44b + 484

вычтем отсюда выражение для гипотенузы по т. Пифагора

0 = 2ab - 44a - 44b + 484

ab - 22a - 22b + 242 = 0

Вычтем теперь выражение из пункта 1 для площади

- 22a - 22b + 220 = 0

- a - b = - 10

a + b = 10

b = 10 - a

--- 4 ---

Теперь снова выражение для площади из пункта 1

ab = 22

a(10 - a) = 22

-a² + 10a - 22 = 0

a² - 10a + 22 = 0

Решаем квадратное ур-е

a₁ = (10 - √(100 - 4*22))/2 = (10 - √12)/2 = 5 - √3

a₂ = (10 + √(100 - 4*22))/2 = (10 + √12)/2 = 5 + √3

Оба решения подходят, но в силу симметрии уравнений по a и b являются просто перестановкой этих двух переменных

Итак, катеты a = 5 - √3, b = 5 + √3

--- 5 ---

Гипотенуза

c² = a² + b² = (5 - √3)² + (5 + √3)² = 25 - 10√3 + 3 + 25 + 10√3 + 3 = 56

c = √56 = 2√14

--- 6 ---

Площадь через гипотенузу и высоту к ней

S = 1/2*c*h = 11

c*h = 22

2√14*h = 22

h = 11/√14 = 11√14/14