Question

Подробно решить неравенство:
$log_2(x-1)+log_2(x^2+\frac{1}{x-1})\leqslant 2log_2(\frac{x^2+x-1}{2})$

Answer 1

Пусть $x^2=u, x-1=v$

$log_{2}v+log_{2}(u+\frac{1}{v})\leq 2log_{2}(\frac{u+v}{2})$

$log_{2}(uv+1)\leq log_{2}(\frac{(u+v)^2}{4})$

$2>1$, следовательно в силу монотонности логарифма:

$uv+1\leq \frac{(u+v)^2}{4}$

$4uv+4\leq (u+v)^2$

$u^2+2uv+v^2-4uv\geq 4$

$u^2-2uv+v^2\geq 4$

$(u-v)^2\geq 4$$(u-v)^2-2^2\geq 0$

$(u-v+2)(u-v-2)\geq 0$

Возвращаемся к замене $x^2=u, x-1=v$

$(x^2-x+3)(x^2-x-1)\geq 0$

$x^2+x-1\geq 0$

$x\geq \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ или $x\leq\frac{1-\sqrt{5}}{2}$

Ограничения на логарифмы в переменных $u, v$:

$v>0; u+\frac{1}{v}>0; u+v>0$

Отсюда отбрасываем решения, получая:

$x\geq \frac{1+\sqrt{5}}{2}$

Ответ: $x\geq \frac{1+\sqrt{5}}{2}$