Question

Решите уравнение
$x^{2} -9=(x-1) \sqrt{x^{2}-9}$

Answer 1

Решение внизу на фото

Answer 2

$( {x}^{2} - 9) = (x - 1) \sqrt{ {x}^{2} - 9 }$
Начнём с О.Д.З.:
Функция определена в том случае, если

х² - 9 ≥ 0
( х - 3 )( х + 3 ) ≥ 0

Решим методом интервалов:

++++++•[ - 3 ]----------•[ 3 ]++++++> Х

Х принадлежит ( - ∞ ; - 3 ] U [ 3 ; + ∞ )
_____________________________

Решим данное уравнение вынесением общего множителя:

$( {x}^{2} - 9) - (x - 1) \sqrt{ {x}^{2} - 9} = 0 \\ \sqrt{ {x}^{2} - 9 } \times ( \sqrt{ {x}^{2} - 9} - (x - 1)) = 0$

Произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю →

$1) \: \sqrt{ {x}^{2} - 9 } = 0 \\ {x}^{2} - 9 = 0 \\ {x}^{2} = 9 \\ x_{1} = - \sqrt{9} = - 3 \\ x_{2} = + \sqrt{9} = + 3$

$2) \: \sqrt{ {x}^{2} - 9} - (x - 1) = 0 \\ \sqrt{ {x}^{2} - 9 } = x - 1$
О.Д.З. : х - 1 ≥ 0
х ≥ 1

Возведём обе части в квадрат →

${( \sqrt{ {x}^{2} - 9} )}^{2} = {(x - 1)}^{2} \\ {x}^{2} - 9 = {x}^{2} - 2x + 1 \\ 2x = 10 \\ x_{3} = \frac{10}{2} = 5$

ОТВЕТ: - 3 ; 3 ; 5