Question

Помогите решить параметр
a*x+a+a^2=2*корень из(x+1)

Answer 1

ax+a+a²=2✓(x+1) (*)

а(х+а+1)=2✓(х+1)

определимся с областью допустимых значений (ОДЗ) x+1≥0 х≥-1

1) а(х+1+а)=2✓(х+1)
Пусть ✓(х+1)=у, тогда
а(у²+а)=2у
ау²-2у+а²=0 (**)

1)при а=0
наше исходное уравнение (*) превращается в
2✓(х+1)=0
или х= -1

2) при а≠0
имеем квадратное уравнение
ау²-2у+а²=0
D=4-4a³=4(1-a³)=
=4(1-a)(a²+a+1)=
=4(1-a)(a²+2•a•½+(½)²+¾)=
=4(1-a)((a+½)²+¾)
при D<0 или а<1
действительных корней нет

при D=0
получаем а=1
уравнение (**)
примет вид
у²-2у+1=0
(у-1)²=0
или у =1
✓(х+1)=1 или х=0

при D>0 или а<1
ау²-2у+а²=0
у1,2=(2±2✓(1-а³))/2а=
=(1±✓(1-а³))/а

здесь делимое всегда положительно, у должен быть неотрицателен, значит при а<0 обратную замену сделать не получится и при а<0 уравнение не будет иметь корней.
при 0<а<1
делаем обратную замену
у=✓(х+1)

(1±✓(1-а³))/а=✓(х+1)
х1,2=((1±✓(1-а³))/а)²-1

ответ:
при а=0
решение х= -1

при 1<а<0
решение
х1,2=((1±✓(1-а³))/а)²-1

при а=1
решение х= 0

при а>0 и а<1
решений нет

Answer 2

Решение во вложении. Уравнение с параметром.