Question

Кинетическая энергия электрона равна удвоенной энергии покоя. Во сколько раз изменится длина волны де Бройля λ, если кинетическая энергия электрона уменьшится вдвое?

Answer 1

Длина волны де Бройля равна: $\lambda = \frac{h}{p}$, где h - постоянная Планка, а p - импульс частицы.

Т.к. кинетическая энергия электрона больше его энергии покоя или $E_{kin}>E_0$, то необходимо рассматривать электрон как релятивистскую частицу.

Энергия релятивистской частицы равна: $E = E_0 + E_{kin} = c\sqrt{p^2 + m^2c^2}$, тогда ее импульс:

$p = \sqrt{\frac{E^2}{c^2}-m^2c^2} = \frac{\sqrt{E_0^2+2E_0E_{kin}+E_{kin}^2 -m^2c^4}}{c}= \frac{\sqrt{m^2c^4+2E_0E_{kin}+E_{kin}^2 -m^2c^4}}{c}=\frac{\sqrt{2E_0E_{kin}+E_{kin}^2}}{c}$

Подставляем в выражение для длины волны де Бройля. Получаем:

$\lambda = \frac{hc}{\sqrt{2E_0E_kin + E_{kin}^2}}$

Для электрона, у которого $E_{kin}=2E_0$, $\lambda_1 = \frac{hc}{\sqrt{2E_0 \cdot 2E_0 + 4E_0^2}} = \frac{hc}{2E_0\sqrt{2}}$

Если кинетическая энергия уменьшится вдвое, то $E_{kin}=E_0$, а $\lambda_2 = \frac{hc}{\sqrt{2E_0 \cdot E_0 + E_0^2}} = \frac{hc}{E_0\sqrt{3}}$

Вычислим, во сколько раз увеличится длина волны де Бройля:

$\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{hc \cdot 2 E_0 \sqrt{2}}{E_0 \sqrt{3} \cdot hc} = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 1,6$

Ответ: длина волны увеличится в 1,6 раза.