Question

1)Разложить на множители:
(а+1)(а+2)(а+3)(а+4)-35

2)Доказать тождество:
(х-1)^3-4(х-1)=(х-1)(х+1)(х-3)

На фото номера 3.8 и 4.4 соответственно. Заранее спасибо

Answer 1

1)
$(a + 1)(a + 2)(a + 3)(a + 4) - 35 = ((a + 1)(a + 4)) \times ((a + 2)(a + 3)) - 35 = ( {a}^{2} + a + 4a + 4)( {a}^{2} + 2a + 3a + 6) - 35 = ( {a}^{2} + 5a + 4)( {a}^{2} + 5a + 6) - 35$
Введем замену: a^2 + 5a = t, тогда:
$(t + 4)(t + 6) - 35 = {t}^{2} + 4t + 6t + 24 - 35 = {t}^{2} + 10t - 11 = {t}^{2} + 10t - 10 - 1 = ( {t}^{2} - 1) + (10t - 10) = (t - 1)(t + 1) + 10(t - 1) = (t - 1)(t + 1 + 10) = (t - 1)(t + 11)$
Вернемся к замене:
$(t -1)(t + 11) = ( {a}^{2} + 5a - 1)( {a}^{2} + 5a + 11)$


2)
${(x - 1)}^{3} - 4(x - 1) = (x - 1)(x + 1)(x - 3)$
Преобразуем левую часть:
${(x - 1)}^{3} - 4(x - 1) = (x - 1)( {(x - 1)}^{2} - 4) = (x - 1)( {x}^{2} - 2x + 1 - 4) = ( x - 1)( {x}^{2} - 2x - 3) = (x - 1)( {x}^{2} - 2x - 2 - 1) = (x - 1)((x - 1)(x + 1) - 2(x + 1)) = (x - 1)(x + 1)(x - 1 - 2) = (x - 1)(x + 1)(x - 3)$
что и требовалось доказать.

Answer 2

3.8

$(a+1)(a+2)(a+3)(a+4)-35=(a+1)(a+4)(a+2)(a+3)-35=\\ \\ =(a+1)(a+4)(a+2)(a+3)-35=\\\\(a^2+4a+a+4)(a^2+3a+2a+6)-35=\\\\=(a^2+5a+4)(a^2+5a+6)-35=(a^2+5a)^2+6(a^2+5a)+\\\\+4(a^2+5a) +24-35=(a^2+5a)^2+10(a^2+5a)-11=\\ \\ =(a^2+5a)^2+11(a^2+5a)-(a^2+5a)-11=\\ \\ =(a^2+5a)(a^2+5a+11)-(a^2+5a+11)=\\\\=(a^2+5a+11)(a^2+5a-1)$

4.4

левая часть:

$(x-1)^3-4(x-1)=(x-1)((x-1)^2-4)=(x-1)((x-1)^2-2^2)=\\ \\ =(x-1)(x-1+2)(x-1-2)=(x-1)(x+1)(x-3)$

правая часть:

$(x-1)(x+1)(x-3)$

Левая часть тождества равна правой его части, значит, тождество верно