Question

Некоторое количество идеального одноатомного газа совершает цикл, график которого приведен на рисунке. Определите КПД цикла.

Answer 1

Дано:

$i = 3$

$p_{0} = 100 \cdotp 10^{3}$ Па

$p = 200 \cdotp 10^{3}$ Па

$V_{0} = 0,1$ м³

$V = 0,35$ м³

=========================

Найти: $\eta - ?$

=========================

Решение. Коэффициент полезного действия двигателя - это физическая величина, которая характеризует экономичность теплового двигателя и равна отношению работы, совершаемой двигателем за цикл, к количеству теплоты, получаемому от нагревателя: $\eta = \frac{A'}{Q},$ где Q - количество теплоты, полученная от нагревателя, A' - работа газа во время расширения.

Итак, так как процесс КПД рассчитывается, когда количество теплоты положительно, тогда процессы $3\to 4$ и $4 \to 1$ не подходят, так как количество теплоты отдаётся холодильнику.

Следовательно, из 1 закона термодинамики вычислим количество теплоты в процессах $1 \to 2$ и $2 \to 3$:

$Q_{1\to2} = \Delta U_{1\to2} + A'_{1\to2} = \frac{i}{2} (p - p_{0})V_{0} + 0 = \frac{i}{2} (p - p_{0})V_{0}$

$Q_{2\to3} = \Delta U_{2\to3} + A'_{2\to3} = \frac{i}{2} p(V - V_{0}) + p(V - V_{0})$

$Q = Q_{1\to2} + Q_{2\to3} = \frac{i}{2} (p - p_{0})V_{0} + \frac{i}{2} p(V - V_{0}) + p(V - V_{0})$

Работа, выполненная газом численно равна площади фигуры:

$A' = (p - p_{0})(V - V_{0})$

Значит, КПД равен:

$\boxed {\eta = \frac{(p - p_{0})(V - V_{0})}{\frac{i}{2} (p - p_{0})V_{0} + \frac{i}{2} p(V - V_{0}) + p(V - V_{0})}}}$

Определим значение искомой величины:

$\eta = \frac{(200 \cdotp 10^{3} - 100 \cdotp 10^{3})(0,35 - 0,1)}{\frac{3}{2} \cdotp (200 \cdotp 10^{3} - 100 \cdotp 10^{3})\cdotp 0,1 + \frac{3}{2} \cdotp 200 \cdotp 10^{3} \cdotp (0,35 - 0,1) + 200 \cdotp 10^{3} \cdotp (0,35 - 0,1)}}$ $= \frac{100 \cdotp 10^{3} \cdotp 0,25}{15 \cdotp 10^{3} + 75 \cdotp 10^3 + 50 \cdotp 10^{3}}$ $= \frac{25 \cdotp 10^{3}}{140 \cdotp 10^{3}} = \frac{5}{28} \thickapprox 0,18 = 18\%.$

Ответ: $\eta \thickapprox 18\%.$