Question

За даним рис. 15 знайдіть площу трикутника ABC.

Answer 1

$\angle BCD$ и $\angle BCA$ - смежные, значит, $\angle BCD+\angle BCA=180^{\circ}$

Тогда $\angle BCD=180^{\circ}-\angle BCD=180^{\circ}-135^{\circ}=45^{\circ}$

Треугольник $BCD$ - прямоугольный, сумма его острых углов равна $90^{\circ}$, значит, $\angle BCD+\angle DBC=90^{\circ}$, откуда $\angle DBC=90^{\circ} -\angle BCD= 90^{\circ} -45^{\circ}=45^{\circ}$,

Так как $\angle DBC=\angle BCD=45^{\circ}$, то треугольник $BCD$ -равнобедренный, значит, $DC=BD=\sqrt{2}$

По теореме Пифагора в треугольнике $BCD$:

$BC^2=BD^2+DC^2\\ \\ BC=\sqrt{BD^2+DC^2}=\sqrt{2 DC^2} =\sqrt{2\cdot(\sqrt{2})^2}=2$

Так как треугольник $ABC$ - равнобедренный, то $AC=BC=2$

$S_{ABC}=\frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC \cdot \sin\angle BCA=\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 \cdot \sin 135^{\circ}=2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$

Ответ: $\sqrt{2}$

Answer 2

1)угол BCD=180°-угол ВСА=180°-135°=45°
2)рассмотрим треугольник ВСD:
угол D=90°, угол С=45°, значит угол В=45°,
т.е.ВD=DC=√2
при этом по теореме пифагора:
ВС=√(BD^2+DC^2)=√(2+2)=√4=2
3)расмотрим треугольник ВСА:
ВС=СА=2, уголС=135°
а S(BCA)=1/2*BC*CA*sin(C)
sinC=sin135°=sin(180°-45°)=sin45°=(√2)/2
S(BCA)=(1/2)*(2)*(2)*((√2)/2)=√2
ответ:√2