Question

Решите пожалуйста 20.52

Answer 1

Предполагаю, что нужны только вещественные решения системы.

Тогда умножим второе уравнение системы на -4; сложим с первым, получим:

$\frac{x^3}{y} -3xy-4\frac{y^3}{x} =0$

приведем к общему знаменателю, затем отбросим сам знаменатель за ненадобностью, в результате имеем:

$x^4-3*x^2*y^2-4y^4=0$

Делим на $y^4$, вводим замену $t=x^2/y^2$, получаем

$t^2-3t-4=0; t_1=4,t_2=-1$

Второй корень приведет к комплексным корням, этот случай я не рассматриваю. Первый корень хороший, из него имеем

$x=\pm 2y$

Для начала возьмем со то что со знаком плюс, подставим это в первое выражение системы:

$8y^2+2y^2=40$

$y=\pm2$

тогда $x=\pm 4$

Если взять знак минус, придем к каким-то комплексным решениям, я это не рассматриваю. Итого ответ: $(-4,-2),(4,2)$