Question

Помогите решить пример
sin^4(x)+cos^4(x)=3/4

Answer 1

sin⁴x + cos⁴x = 3/4

sin⁴x + 2sin²x*cos²x + cos⁴x - 2sin²x*cos²x = 3/4

(sin²x + cos²x)² - 2sin²xcos²x = 3/4

1 - 2sin²x*cos²x = 3/4

2sin²x*cos²x = 1 - 3/4

2sin²x*cos²x = 1/4

1/2 * (2sinx*cosx)² = 1/4

(2sinx*cosx)² = 1/2

sin²2x = 1/2

(1 - cos4x)/2 = 1/2

1 - cos4x = 1

cos4x = 0

4x = π/2 + πn, n ∈ Z

x = π/8 + πn/4, n ∈ Z

Ответ: π/8 + πn/4, n ∈ Z.

Answer 2

$sin^4x+cos^4x=\dfrac{3}{4}$

Для четвертых степеней есть готовые формулы

$sin^4x=\dfrac{3-4cos2x+cos4x}{8} \ \ \ \ \ cos^4x=\dfrac{3+4cos2x+cos4x}{8}$

При их использовании уравнение сводится к

$cos4x=0\\ 4x=\dfrac{\pi}{2}+ \pi k \\ x=\dfrac{\pi}{8}+\dfrac{\pi k}{4}; \ k \in Z$

Но обычно такие уравнения решают дополнением левой части до полного квадрата

$sin^4x+2sin^2xcos^2x+cos^4x=\dfrac{3}{4}+2sin^2xcos^2x\\ (sin^2x+cos^2x)^2=\dfrac{3}{4}+2\cdot\dfrac{1-cos2x}{2}\cdot\dfrac{1+cos2x}{2} \\ 1=\dfrac{3}{4}+\dfrac{1-cos^22x}{2}\\ \dfrac{1}{4}=\dfrac{1-cos^22x}{2} \\ 2cos^22x-2=-1\\ 2cos^22x-1=0\\ cos4x=0 \\ x=\dfrac{\pi}{8}+\dfrac{\pi k}{4} ; \ k \in Z$