Question

На сто­ро­не AB тре­уголь­ни­ка ABC взята точка D так, что окружность, про­хо­дя­щая через точки A, C и D, ка­са­ет­ся пря­мой BC. Най­ди­те AD, если AC = 40, BC = 34 и CD = 20.

Answer 1

Если окружность касается прямой ВС и проходит через точку С, то С - точка касания:

угол между касательной и хордой равен половине заключенной дуги:

$\angle BCA=\frac{1}{2}\breve{CD}$

∠DAC - вписанный, значит:

$\angle DAC=\frac{1}{2}\breve{CD}$

Отсюда:

$\angle BCA=\angle DAC$

Для треугольников АВС и DBC: ∠В - общий ⇒ они подобны по двум углам

$\Delta ABC \sim \Delta DBC$

Значит справедливы равенства:

$\frac{BC}{BD} =\frac{AB}{BC}=\frac{AC}{CD} \\ \\ \frac{34}{BD}=\frac{AB}{34} =\frac{40}{20}=2 \\ \\ AB=2*34=68 \\ BD=\frac{34}{2}=17 \\ \\ AD=AB-BD=68-17=51 \\ \\ OTBET: \ 51$