Question

Существует ли такая функция
f(x), определённая на всей числовой прямой, что при всяком
x справедливо 2f(x+2)+f(4−x)=2x+5? В случае отрицательного ответа приведите доказательство, а в случае положительного ответа найдите все такие функции
f(x)

Answer 1

Подставим в равенство вместо x разность 2 - x:

$2f((2-x)+2)+f(4-(2-x))=2(2-x)+5\\2f(4-x)+f(x+2)=9-2x$

Домножаем это равенство на 2 и вычитаем из произведения равенство из условия:

$\underline{\ }\ 4f(4-x)+2f(x+2)=18-4x\\\phantom{\ \ 4}f(4-x)+2f(x+2)=2x+5$

$\overline{\phantom{\ \ 4f(x+2)+}3f(4-x)=13-6x}$

Теперь подставим в полученное равенство 4 - x вместо x:

$3f(x)=13-6(4-x)\\3f(x)=6x-11\\f(x)=2x-\dfrac{11}3$

Answer 2

Функция, очевидно, линейная. Обозначим ее f(x) = ax+b.
2*(a(x+2) + b) + a(4-x) + b = 2x+5
2ax + 4a + 2b + 4a - ax + b = 2x+5
ax + (8a+3b) = 2x+5
Коэффициенты при одинаковых степенях х равны
{ a = 2
{ 8a+3b = 5; b = (5-16)/3 = -11/3
f(x) = 2x - 11/3