Question

Sinx+sin^2x+cos^3x=0

Answer 1

$\sin x+\sin^2x+\cos^3x=0\\ \sin x+\sin^2x+\cos^2x\cos x=0\\ \sin x(1+\sin x)+(1-\sin x)(1+\sin x)\cos x=0\\ (1+\sin x)(\sin x+\cos x-\sin x\cos x)=0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю

$1+\sin x=0\\ \sin x=-1\\ x=-\frac{\pi}{2} +2\pi k,k \in \mathbb{Z}$

$\sin x+\cos x-\sin x\cos x=0$

Пусть $\sin x+\cos x=t~~(|t|\leq \sqrt{2} )$, тогда возводим в квадрат обе части равенства, получим $1+2\sin x\cos x=t^2~~\Rightarrow~~ \sin x\cos x=\frac{t^2-1}{2}$

$t+\frac{t^2-1}{2} =0\\ t^2+2t-1=0\\ D=b^2-4ac=2^2-4\cdot1\cdot(-1)=4+4=8\\ \\ t_1=\dfrac{-2+2\sqrt{2}}{2} =-1+\sqrt{2} \\ t_2=-1-\sqrt{2} ~~\notin~~|t|\leq \sqrt{2}$

обратная замена

$\sin x+\cos x=-1+\sqrt{2} \\ \sqrt{2} \sin (x+\frac{\pi}{4} )=-1+\sqrt{2} \\ \\ \sin (x+\frac{\pi}{4})=-\frac{1}{\sqrt{2}} +1\\ \\ x=(-1)^k\cdot\arcsin(1-\frac{1}{\sqrt{2}})-\frac{\pi}{4}+\pi k,k \in \mathbb{Z}$