Question

скажите пожалуйста, как получили cos (x+pi/4) и почему sin2x <1/2

Answer 1

cos (x + π/4)=
=cosx cos (π/4)-
-sinx sin(π/4)
Т.к cos (π/4)=sin(π/4)=1/✓2, то
cos (x + π/4)=(1/✓2)(cosx-sinx)

теперь почему
sin2x <1/2
Наше неравенство:
✓sin2x < cos (x + π/4)
и как мы выяснили выше
cos (x + π/4)=(1/✓2)(cosx-sinx)

обе части неравенства неотрицательны, поэтому,
возведя в квадрат, получим

sin2x<(1/✓2)²(cosx-sinx)²

Но ( 1/✓2)²(cosx-sinx)²=
=1/2•(cos²x+sin²x-2sinxcosx)=
=1/2•(1-sin2x)

то есть sin2x<1/2•(1-sin2x) (*)

Далее, учитывая, что
sin 2x≥0 поэтому
-sin2x≤0
1-sin2x≤1
1/2(1-sin2x)≤1/2 (**)

из (*) и (**)
sin2x<1/2•(1-sin2x)≤1/2

то есть sin2x<1/2

Может, излишне подробно расписал, но так, надеюсь так более понятно станет