Question

пожалуйста,с подробным решением$\int\limits^2_0 {f(2x+3)} \, d(x)=15; \int\limits^7_3 {f(x)} \, =?$

Answer 1

Делаем замену:
$2x + 3 = y \\ \\ x = \frac{y - 3}{2} \\ \\ dx = \frac{1}{2} dy$


Также заменяются пределы:

$y_1 = 2x_1 + 3 = 2 \times 0 + 3 = 3 \\ \\ y_2 = 2x_2 + 3 = 2 \times 2 + 3 = 7$


Таким образом:

$\int \limits ^{2} _0 f(2x + 3)dx = \frac{1}{2} \int \limits ^{7} _2f(y)dy = 15$


Отсюда:

$\int \limits ^{7} _2 f(y)dy = 15 \times 2 = 30$
И наконец, заново заменяем у на х

$y = x \\ dx = dy \\ x_1 = y_1 \\ x_2 = y_2$

$\int \limits ^{7} _2 f(y)dy = \int \limits ^{7} _2 f(x)dx = 30$

Ответ: 30