Question

За якого значення а система має єдиний розвязок

Answer 1

Возводим в квадрат 2 уравнение

(x - y)^2 = a^2

x^2 + y^2 - 2xy = a^2

Подставляем 1 уравнение

4 - 2xy = a^2

2xy = 4 - a^2 = (2 + a)(2 - a)

При а = -2 и при а = 2 будет

{ 2xy = 0

{ x^2 + y^2 = 4

Эта система имеет 4 решения: (0;-2); (0;2); (-2;0); (2;0).

При всех других а будет:

y = (4-a^2) / (2x)

x^2 + (4-a^2)^2 / (4x^2) = 4

4x^4 - 16x^2 + (4-a^2)^2 = 0

Это биквадратное уравнение. Оно имеет 2 корня при D = 0.

D/4 = 8^2 - 4(4-a^2)^2 = (8-2(4-a^2))(8+2(4-a^2)) = 2a^2*(16-2a^2) = 0

При а = 0, а = -√8, а = √8 будет D = 0.

Решим систему при этих а.

1) а = 0

{ x^2 + y^2 = 4

{ x - y = 0

Получаем

{ x = y

{ 2x^2 = 4

Отсюда

x1 = y1 = -√2; x2 = y2 = √2

Даже без проверки очевидно, что это действительно два решения:

x1 = -√2; y1 = -√2 и x2 = √2; y2 = √2

2) a = +-√8

4x^4 - 16x^2 + (4-8)^2 = 0

4x^4 - 16x^2 + 16 = 0

x^4 - 4x^2 + 4 = 0

(x^2 - 2)^2 = 0

Получаем

x1 = -√2; x2 = √2

Тоже получается два решения, но это надо проверить.

2а) a = -√8 = -2√2; x1 = -√2; y1 = x - a = -√2 + 2√2 = √2

x^2 + y^2 = (-√2)^2 + (√2)^2 = 2 + 2 = 4 - подходит.

2б) a = √8 = 2√2; x1 = -√2; y1 = x - a = -√2 - 2√2 = -3√2

x^2 + y^2 = (-√2)^2 + (-3√2)^2 = 2 + 9*2 = 20 ≠ 4 - не подходит.

2в) a = -√8 = -2√2; x2 = √2; y2 = x - a = √2 - (-2√2) = 3√2

x^2 + y^2 = (√2)^2 + (3√2)^2 = 2 + 9*2 = 20 ≠ 4 - не подходит.

2г) a = √8 = 2√2; x2 = √2; y2 = x - a = √2 - 2√2 = -√2

x^2 + y^2 = (√2)^2 + (-√2)^2 = 2 + 2 = 4 - подходит.

Значит, при a = -√8 будет одно решение: x = -√2; y = √2

И при a = √8 тоже будет одно решение: x = √2; y = -√2

Очевидно, что при всех остальных а будет или 2, или 0 решений.