Question

Решить любым способом ,но нельзя применять производную и определение производной !!!
$\lim_{h \to 0} (\frac{1}{h}(\int\limits^{\frac{\pi}{4}+h}_{\frac{\pi}{4}} {\frac{sin(x)}{x}} \, dx))$

Answer 1

Теорема о среднем: если на отрезке [a,b] функция f(x) непрерывна, то найдётся такое ξ ∈ [a, b], что

$\displaystyle\int_a^bf(x)\,dx=f(\xi)(b-a)$

$\displaystyle\lim_{h\to0}\frac1h\int_{\frac\pi4}^{\frac\pi4+h}\frac{\sin x}x\,dx=\lim_{{h\to0}\atop{\xi\in\left[\frac\pi4,\frac\pi4+h\right]}}\frac1h\frac{\sin\xi}\xi\cdot h=\lim_{\xi\to\frac\pi4}\frac{\sin\xi}\xi=\frac{\sin\frac\pi4}{\frac\pi4}=\frac{2\sqrt2}{\pi}$