Question

Вот, помогите решить. Только не выходя за границы призмы!

Answer 1

РЕШЕНИЕ:

1) Прямые AB1 и CD1 расположены в параллельных плоскостях:

( AB1F1 ) || ( CED1 ) по признаку параллельности двух плоскостей: две пересекающиеся прямые AB1 и АF1 плоскости AB1F1 соответственно параллельны двум пересекающимся прямым ED1 и СD1 плоскости CED1

2) Все боковые грани правильной шестиугольной призмы равны

Значит, ∆ AB1F1 - равнобедренный, АВ1 = АF1

3) АА1 перпендикулярен А1D1 ( AA1 - высота призмы )
A1K перпендикулярен В1F1 ( по свойству правильного шестиугольника A1D1 перпендикулярен В1F1, к тому же A1D1 делит отрезок В1F1 пополам => B1K = F1K )

Значит, по теореме о трёх перпендикулярах

АК перпендикулярен В1F1 ( или это можно доказать через свойство правильного шестиугольника, которое привёл выше )

АК - высота, медиана, биссектриса

4) Рассмотрим ∆ АА1F1 ( угол АА1F1 = 90° ):

По теореме Пифагора:

АF1² = AA1² + A1F1²

AF1² = 12² + 10² = 144 + 100 = 244

AF1 = 2√61

5) Рассмотрим ∆ А1KF1 ( угол A1KF1 = 90° ):

Все углы правильного шестиугольника равны 120°

угол А1F1K = 120° - 90° = 30°

Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы

А1К = 1/2 × А1F1 = 1/2 × 10 = 5

По теореме Пифагора:

A1F1² = A1K² + KF1²

A1K² = 10² - 5² = 100 - 25 = 75

A1K = 5√3 => B1F1 = 2 × KF1 = 2 × 5√3 = 10√3

6) Рассмотрим ∆ АА1К ( угол АА1К = 90° ):

По теореме Пифагора:

АК² = А1К² + АА1²

АК² = 12² + 5² = 144 + 25 = 169

АК = 13

7) Большая диагональ правильного шестиугольника в два раза больше его стороны =>

А1D = 2 × A1B1 = 2 × 10 = 20

KD1 = A1D1 - A1K = 20 - 5 = 15

8) Плоскости АВ1F1 и CED1 параллельны
Плоскости оснований призмы также параллельны

Из этого следует, что четырёхугольник АKD1M - параллелограмм

Значит, отрезок КН, то есть высота параллелограмма, перпендикулярна плоскостям АВ1F1 и CED1 и является искомым

9) Площадь параллелограмма равна произведению основания на его высоту

S = a × h = AA1 × KD1 = 12 × 15 = 180

Но с другой стороны площадь параллелограмма равна:

S = MD1 × KH

180 = 13 × КН

КН = 180 / 13

Значит, расстояние между плоскостями AB1F1 и CED1, равное расстоянию между прямыми АВ1 и CD1, равно 180 / 13

ОТВЕТ: 180 / 13