Question

ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ, ПОЖАЛУЙСТА
ЗАДАЧА. 8-ОЙ КЛАСС.

Answer 1

Если из вершины В провести высоту ВН на основание АС равнобедренного треугольника , то получим два прямоугольных треугольника АВН и СВН. Катет АН равен половине АС: АН=АС:2=4√5:2=2√5 , и ∠АВН=0,5·∠В , т.к. высота в равнобедр. треуг-ке, опущенная на основание явл. медианой и биссектрисой.

Найдём из ΔАВН катет ВН по теореме Пифагора:

ВН=√(АВ²-АН²)=√(25-20)=√5

cos∠АВН=ВН : АВ=√5 : 5=√5/5 . Обозначим для удобства записи ∠АВН=α.

сos∠В=cos(2·α)=cos²α-sin²α=сos²α-(1-cos²α)=2cos²α-1=2·(√5/5)²-1=2·(1/5)-1= -(3/5)

По условию cos∠B=-x/5 ⇒ -х/5= -3/5 ⇒x=3.

Answer 2

А мы пойдём более понятным способом:

Для начала опустим две высоты ВН и CD

1) Рассмотрим ∆ АВС:

Высота, проведённая в равнобедренном треугольнике, является и медианой, и биссектрисой

Значит, АН = НС = 1/2 × АС = 1/2 × 4√5 = 2√5 см

2) Рассмотрим ∆ ВНС ( угол ВНС = 90° ):

По теореме Пифагора:

ВС² = ВН² + СН²

ВН² = 5² - ( 2√5 )² = 25 - 20 = 5

ВН = √5 см

3) Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту

S abc = 1/2 × BH × AC = 1/2 × √5 × 4√5 = 10

Но с другой стороны =>

S abc = 1/2 × CD × AB

10 = 1/2 × CD × 5

20 = CD × 5 => CD = 4 см

4) Рассмотрим ∆ ВСD ( угол CDB = 90° ):

По теореме Пифагора:

ВС² = CD² + BD²

BD² = 5² - 4² = 25 - 16 = 9

BD = 3 см

Теперь внимательно читаем и понимаем:

Косинус острого угла — положительный.
Косинус острого угла равен косинусу тупого угла, но с противоположным знаком.

Косинус тупого угла — отрицательный. Косинус тупого угла равен косинусу острого угла, но с противоположным знаком.

Например,

cos ABC = - cos CBD , и наоборот
cos CBD = - cos ABC

Значит, в прямоугольном треугольнике ВСD

cos CBD = - cos ABC = - ( - x / 5 ) = x / 5

cos CBD = BD / BC = 3 / 5

=> 3 / 5 = x / 5

Из этого следует, что Х = 3

ОТВЕТ: 3