Question

Помогите решить пожалуйста последовательность

Answer 1

а) Например, {0, -4, -7, -9, -10, -10, -9, -7, -4, 0}

б, в) Перепишем неравенство в следующем виде: $a_k+a_{k+2}\geqslant 2a_{k+1}+1$

Просуммируем неравенства для k от 1 до 8:

$(a_1+a_3)+(a_2+a_4)+\dots+(a_8+a_{10})\geqslant 2(a_2+a_3+\dots+a_9)+8\\a_1+a_{10}\geqslant a_2+a_9+8$

Аналогично, суммируем для k от 2 до 7: $a_2+a_9\geqslant a_3+a_8+6$, от 3 до 6: $a_3+a_8\geqslant a_4+a_7+4$, от 4 до 5: $a_4+a_7\geqslant a_5+a_6+2$.

Теперь суммируем все полученные неравенства и находим, что

$a_1+a_{10}\geqslant a_5+a_6+(2+4+6+8)=a_5+a_6+20\\a_1-a_5-a_6+a_{10}\geqslant 20$

Остается показать, что эта оценка достижима. Попробуем сразу найти пример, который будет удовлетворять и пункту б).

Все нестрогие неравенства должны обращаться в равенство, и при этом $a_1+a_{10}=2a_6$. Значит, $2a_6=a_5+a_6+20$, $a_6=a_5+20$. Возьмем $a_5=-20$, $a_6=0$, и, после несложных вычислений, получим a = {-90, -74, -57, -39, -20, 0, 21, 43, 66, 90}.

Ответ. а) {0, -4, -7, -9, -10, -10, -9, -7, -4, 0}, б) да, в) 20