Question

Помогите с 11 и 12 номерами

Answer 1

11) Преобразуем квадратный трёхчлен справа под корнем:

$D=(4a+2)^2-4*4*2a=16a^2+16a+4-32a=16a^2-16a+4=4(4a^2-4a+1)=4(2a-1)^2=(4a-2)^2$ (учитывая, что $a\geq \frac{1}{2}$)

Корни:

$x=\frac{4a+2+4a-2}{8}=a$ или $x=\frac{4a+2-4a+2}{8}=\frac{1}{2}$

Разложим на множители:

$4x^2-(4a+2)x+2a=4(x-a)(x-\frac{1}{2})=(x-a)(4x-2)$

Перепишем теперь наше уравнение:

$x\sqrt{x-a}=\sqrt{(x-a)(4x-2)}$

$\sqrt{x-a}(x-\sqrt{4x-2})=0$

Получаем совокупность:

$x-a=0$ или $x=\sqrt{4x-2}$

$x=a$ или $x^2-4x+2=0$

$x=a$ или $x=2+\sqrt{2}$ или $x=2-\sqrt{2}$

Теперь вспоминаем условие задачи ($0\leq x\leq 1$)

И проверяем корни на это условие:

$0\leq x=a\leq 1$, т.е. $0\leq a\leq 1$

$2+\sqrt{2}>1$ - не удовлетворяет условию

$x=2-\sqrt{2}$ - удовлетворяет условию

Итого, у нас есть 2 корня, которые удовлетворяют условию:

$x=a$ или $x=2-\sqrt{2}$

Но по условию нужен только один корень. Значит нужно каким-то образом достичь этого. Это может быть в нескольких случаях:

1) корень не попал в допустимый промежуток

2) корни совпали

$1) x<a; a<0$ - если x<a, то корень не попадает в ОДЗ (x≥a)

$2) a=2-\sqrt{2}$

Объединяя все вышеперечисленные случаи в один, получаем:

Ответ: $a<0$ или $2-\sqrt{2}\leq a\leq 1$

12) Выразим из 2 уравнения какую-нибудь переменную, лучше сразу y (чтобы подставить x)

$y=\frac{a(a-3)}{x}$

Если x=0, то y=+-a

Подставляем y:

$x^4-a^2x+(a^2-3a)^2=0$

$x^2=t, t>0$

$t^2-a^2t+(a^2-3a)^2=0$

Далее решаете квадратное уравнение с параметром и точно также потом случай x=0 (слишком долго расписывать)