Question

С какой дырки второй корень вылезает?
Я думал, x=(-1)^n*(-п/6)+пn, по определению, конечно. Разъясните толком

Answer 1

Поскольку sin( t ) = sin ( π - t ), уравнение имеет два решения

1) Рассмотрим первый случай:

$sinx = - \frac{1}{2}$

$x = - \frac{\pi}{6} + 2\pi \: n \\ \\ x = - \frac{5\pi}{6} + 2\pi \: k$

n , k € Z

2) Рассмотрим второй случай:

$sin(\pi - x) = - \frac{1}{2}$

$\pi - x = - \frac{\pi}{6} + 2\pi \: m \\ \\ x = \pi + \frac{\pi}{6} + 2\pi \: m \\ \\ x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi \: m$
m € Z

$\pi - x = - \frac{5\pi}{6} + 2\pi \: p \\ \\ x = \pi + \frac{5\pi}{6} + 2\pi \: p \\ \\ x = \frac{11\pi}{6} + 2\pi \: p$

p € Z

И здесь можно заметить, что

$- \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6} \\ \\ - \frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{7\pi}{6}$

Из этого следует, что второй случай совпадает с первым. Или это можно было сразу заметить вначале, когда записали, что sin( t ) = sin( π - t )

Answer 2

Формула для углов x=(-1)^n arcsin(a) + Пn, nЄZ получена как объединение двух множеств. На рисунке во вложении показано решение с двумя множествами значений углов, которые удовлетворяют уравнение sint = a, где |a| < 1 и показано как эти множества записываются при помощи выражения x=(-1)^n arcsin(a) + Пn, nЄZ