Question

Помогите решить задачу с параметром, по возможности объясните (см вложение)

Answer 1

Ответ:

При $a<0$ функция нулей не имеет, при $0\leq a<4$ функция имеет 4 нуля $-1\pm \sqrt{4\pm a}$, при $a=4$ функция имеет 3 нуля $-1;-1\pm 2\sqrt{2}$, при $a>4$ имеет 2 нуля $-1\pm \sqrt{4+a}$.

Объяснение:

$f(x)=|x^2+2x-3|-a\\ f(x)=0\Leftrightarrow |x^2+2x-3|=a \;\;\;(1)$

1) $a<0$

Но левая часть (1) неотрицательна - а значит (1) корней не имеет, то есть при данных значениях параметра $f(x)$ не имеет нулей.

2) $a\geq 0$

Тогда (1) равносильно совокупности квадратных уравнений$\left[\begin{array}{c}x^2+2x-3=-a\\x^2+2x-3= a\end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{c}x^2+2x+a-3=0\;\;(2)\\x^2+2x-3-a=0\;\;(3)\end{array}\right.$

Решаем уравнение (2):

$D=2^2-4(a-3)=4-4a+12=16-4a$

$D>0\Leftrightarrow a<4;\;D=0\Leftrightarrow a=4;D<0\Leftrightarrow a>4$

Значит, (2) при $a>4$ не имеет корней, при $a=4$ имеет один корень $x=-1$, при $0\leq a<4$ имеет два корня $x=\dfrac{-2\pm \sqrt{16-4a}}{2}=-1\pm \sqrt{4-a}$.

Решаем уравнение (3):

$D=2^2-4(-3-a)=4+12+4a=16+4a$

Учитывая рассматриваемые значения параметра, $D>0$. Значит, при $a\geq 0$ (2) имеет два корня $x=\dfrac{-2\pm \sqrt{16+4a}}{2}=-1\pm \sqrt{4+a}$.

Окончательно получим, что при $a<0$ функция нулей не имеет, при $0\leq a<4$ функция имеет 4 нуля $-1\pm \sqrt{4\pm a}$, при $a=4$ функция имеет 3 нуля $-1;-1\pm 2\sqrt{2}$, при $a>4$ имеет 2 нуля $-1\pm \sqrt{4+a}$.