Question

Решить уравнение: cos2x-5sinx-3=0

Answer 1

cos2x - 5sinx - 3 = 0

$cos2x = 1 - 2sin^{2} x$
$1 - 2 {sin}^{2} x - 5sinx - 3 = 0 \\ - 2 {sin}^{2} x - 5sinx - 2 = 0 \\ 2 {sin}^{2} x + 5sinx + 2 = 0$
Пусть
$sinx = t \\ - 1 \leqslant t \leqslant 1$
Тогда:
$2 {t}^{2} + 5t + 2 = 0 \\ d = {b}^{2} - 4ac = 25 - 4 \times 2 \times 2 = 25 - 16 = 9 \\ t1 = \frac{ - 5 + 3}{2 \times 2} = \frac{ - 2}{4} = - \frac{1}{2} \\ t2 = \frac{ - 5 - 3}{2 \times 2} = \frac{ - 8}{4} = - 2$
t2 не удовл.
Вернемся к замене:
$sinx = - \frac{1}{2} \\ x = {( - 1)}^{n} \times arcsin( - \frac{1}{2} ) + \pi n \\ x = {( - 1)}^{n + 1} \times \frac{\pi}{6} + \pi n$
Ответ: (-1)^n+1 * pi/6 + pi*n, n € Z.

Answer 2

cos2x-5sinx-3=0

cos²x-sin²x-5sinx-3=0

1-sin²x-sin²x-5sinx-3=0

-2sin²x-5sinx-2=0

пусть sinx=t; t∈[-1;1]

-2t²-5t-2=0

2t²+5t+2=0

D=25-16=9=3²

t₁=(-5-3)\4= -2

t₂=(-5+3)\4= -1\2

обр. замена:

sinx=-1\2

x₁= -п\6+2пn; n∈z

x₂= -5п\6+2пn; n∈z