Question

Найдите область значений функции
f(x)=3cosx-4sinx+3

Answer 1

f(x)=3cosx-4sinx+3

Выражение 3cosx-4sinx преобразуем при помощи тождества asinx - bcosx = √(a² + b²)sin(x-arcsin(b/√(a² + b²))), где √(a² + b²) = √(4² + 3²) = √25 = 5; arcsin(b/√(a² + b²)) = arcsin(4/5). Имеем:

f(x)=3cosx-4sinx+3 = -4sinx + 3cosx +3 = 5·sin(x-arcsin(4/5)) + 3.

Значение этого выражения зависит только от первого слагаемого.

-1 ≤ sin(x-arcsin(4/5)) ≤ 1|·5; -5 ≤ 5sin(x-arcsin(4/5)) ≤ 5|+3;

-2 ≤ 5sin(x-arcsin(4/5)) + 3 ≤ 8. Т.е. -2 ≤ f(x) ≤ 8.

Ответ: Е(f) = [-2; 8].

II способ

f(x)=3cosx-4sinx+3 = $5(\frac{3}{5} cosx - \frac{4}{5}sinx) + 3 = 5(cos(arccos\frac{3}{5}) cosx - sin(arcsin\frac{4}{5})sinx) + 3 =5(cos(arccos\frac{3}{5}) cosx - sin(arccos\frac{3}{5})sinx) + 3 =5cos(x + arccos\frac{3}{5}) + 3.$

-1 ≤ cos(x + arccos0,6) ≤ 1|·5; -5 ≤ 5cos(x + arccos0,6) ≤ 5| +3;

-2 ≤ 5cos(x + arccos0,6) + 3 ≤ 8; -2 ≤ f(x) ≤ 8.

Ответ: E(f) = [-2; 8].