Question

Докажите, что

$\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}+\sqrt[3]{9-\sqrt{80}} = 3$

Answer 1

Если выражение, стоящее в левой части равно 3, то при возведении левой части в куб мы должны получить 3³=27.

$\Big (\; \sqrt[3]{9+\sqrt{80}}+\sqrt[3]{9-\sqrt{80}}\; \Big )^3=(9+\sqrt{80})+3\sqrt[3]{(9+\sqrt{80})^2}\cdot \sqrt[3]{9-\sqrt{80}}+\\\\+3\cdot \sqrt[3]{9+\sqrt{80}}\cdot \sqrt[3]{(9-\sqrt{80})^2}+(9-\sqrt{80})=\\\\=18+3\cdot \sqrt[3]{(9+\sqrt{80})(9-\sqrt{80})}\cdot \Big (\; \sqrt[3]{9+\sqrt{80}}+\sqrt[3]{9-\sqrt{80}}\; \Big )=\\\\=18+3\cdot \sqrt[3]{81-80}\cdot \Big (\; \sqrt[3]{9+\sqrt{80}}+\sqrt[3]{9-\sqrt{80}}\; \Big )=\\\\=18+3\cdot \Big (\; \sqrt[3]{9+\sqrt{80}}+\sqrt[3]{9-\sqrt{80}}\; \Big )\; ;$

$18+3\cdot \Big (\; \sqrt[3]{9+\sqrt{80}}+\sqrt[3]{9-\sqrt{80}}\; \Big )=27\; \; \qquad \; \; \Rightarrow \\\\\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}+\sqrt[3]{9-\sqrt{80}}=\frac{27-18}{3}\\\\\boxed {\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}+\sqrt[3]{9-\sqrt{80}}=3}$

Answer 2

Рассмотрим подкоренное выражение, который представляет собой квадрат суммы

$9 + \sqrt{80} = 9 + 4 \sqrt{5} = 4 + 4 \sqrt{5} + 5 = \\ = {2}^{2} + 2 \times 2 \sqrt{5} + { (\sqrt{5} )}^{2} = {(2 + \sqrt{5}) }^{2}$


Заметим, что =>


${(1 + \sqrt{5} )}^{3} = {1}^{3} + 3 \times {1}^{2} \times \sqrt{5} + 3 \times 1 \times { (\sqrt{5}) }^{2} + { (\sqrt{5} )}^{3} = \\ \\ = 1 + 3 \sqrt{5} + 15 + 5 \sqrt{5} = 16 + 8 \sqrt{5} = 8(2 + \sqrt{5} ) \\ \\ 2 + \sqrt{5} = {( \frac{1 + \sqrt{5} }{2} })^{3}$


Подставляем найденные значения


$\sqrt[3]{9 + \sqrt{80} } + \sqrt[3]{9 - \sqrt{80} } = \sqrt[3]{ 9 + 4 \sqrt{5} } + \sqrt[3]{9 - 4 \sqrt{5} } = \\ \\ = \sqrt[3]{ {(2 + \sqrt{5} )}^{2} } + \sqrt[3]{ {(2 - \sqrt{5} )}^{2} } = \sqrt[3]{ ({ \frac{1 + \sqrt{5} }{2} })^{6} } + \sqrt[3]{( { \frac{1 - \sqrt{5} }{2} })^{6} } = \\ \\ = ({ \frac{1 + \sqrt{5} }{2} })^{2} + {( \frac{1 - \sqrt{5} }{2} })^{2} = \frac{ {(1 + \sqrt{5} })^{2} + {(1 - \sqrt{5}) }^{2} }{4} = \\ \\ = \frac{1 + 2 \sqrt{5} + 5 + 1 - 2 \sqrt{5} + 5 }{4} = \frac{6 + 6}{4} = \frac{12}{4} = 3$

Тождество доказано