Question

Найти периметр ортотреугольника A1B1C1, для равнобедренного треугольника ABC, в котором AB=BC=3, AC=2

Answer 1

Ортотреугольник - это треугольник, вписанный в исходный, вершинами которого являются основания высот исходного.

--- 1 ---

Площадь исходного треугольника через основание и высоту к нему

S = 1/2*АС*ВД = 1/2*2*ВД = ВД

ВД по т. Пифагора из ΔАВД

ВД² = АВ² - АД² = 3² - 1² = 9 - 1 = 8

ВД = √8 = 2√2

S = 2√2

--- 2 ---

Площадь через высоту к боковой стороне

S = 1/2*АВ*ЕС = 1/2*3*ЕС = 2√2

ЕС = 4√2/3

--- 3 ---

в прямоугольном ΔАЕС

Д - середина гипотенузы, значит

АД = ДС = ЕД = 1 (радиус описанной окружности)

--- 4 ---

в ΔАЕС катет АЕ по т. Пифагора

АЕ² = АС² - ЕС² = 2² - (4√2/3)² = 4 - 16*2/9 = 4 - 32/9 = 36/9 - 32/9 = 4/9

АЕ = 2/3

--- 5 ---

ΔАЕШ ~ ΔАЕС, поскольку угол А общий, второй угол прямой, из подобия

АШ/АЕ = АЕ/АС

АШ = АЕ²/АС = 4/9/2 = 2/9

--- 6 ---

ЕФ = АС - АШ - ЩС = АС - 2*АШ = 2 - 2*2/9 = 2 - 4/9 = 18/9 - 4/9 = 14/9

--- 7 ---

Периметр отртотреугольника

P = ЕД + ДФ + ЕФ = 1 + 1 + 14/9 = 18/9 + 14/9 = 32/9